已知函数f(x)=1 1 x (1)求函数f(x)的定义域;(2)用单调性的定义证明函数f(x。，(1)函数f(x)的定义域为(∞,0)∪(0,+∞); (2)根据单调性的定义,设x 1 ,x 2 ∈(∞,0),且x 1 设函数f(x)= 1 x 2 1 ,(1)求函数f(x)的定义域、值域;(2)判断函数f(x)的奇偶，(1)∵f(x)= 1 x 2 1 , ∴x 2 1≠0,即x≠±1,即函数的定义域为{x|x≠±1}. 则f(x)≠0,即f(x)值域为{x|x≠0}; (2)∵函数的定义域为{x|x≠±1}. ∴定义域关于原点对称, ∵f(x)= 1 x 2 1 =f(x), ∴函数f(x)的是偶数; (3)设t=x 2 1,则y= 1 t , ∵当x>1时,函数t=x 2 1单调递增,此时y= 1 t 单调递减,∴此时函数f(x)单。 求函数f(x)= 1 x+1 + 2x x 2 +3 的定义域，要使函数有意义,须 2x x 2 +3≥0 x+1≠0 解得1 设函数 f(x)= 1+ x 2 1 x 2 (1)判断它的奇偶性;(2)x≠0,求 f( 1 x )+，(1)∵函数的定义域{x|x≠±1},f(x)=f(x),∴f(x)是偶函数;(4分) (2) f( 1 x )= 1+ 1 x 2 1 1 x 2 = x 2 +1 x 2 1 =f(x) 所以 f( 1 x )+f(x) =0(8分) (3)由(2)可得: f( 1 5 )+f( 1 4 )+f( 1 3 )+f( 1 2 ) +f(0)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5) =0+0+0+0+0+f(0)=1(12分) 已知 f(x)= 1 x 1 .(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断并用定义证明函数f(，(1)由 1 x 1≥0 得定义域为(0,1]. (2)f(x)在(0,1)内单调递减,证明如下. 设0 已知函数 f(x)=x+ 1 x (x≠0) .(I)判断函数f(x)的奇偶性;(II)判断函数f(x)在(1,。，(I)函数的定义域为{x|x≠0}, 对任意不等于0的实数f(x)= x+ 1 x =(x+ 1 x ) =f(x) 所以函数为奇函数 (II)f′(x)=1 1 x 2 ∵x>1 ∴ 1 x 2 <1 ∴ 1 1 x 2 > 0 ∴f′(x)>0 ∴函数f(x)在(1,+∞)上是增函数 (III) 由(II)知函数f(x)在[2,4]上是增函数 ∴当x=2时,函数函数f(x)取得最小值为f(2)= 5 2 已知函数 f(x)=x+ 1 x .(Ⅰ)求证函数f(x)为奇函数;(Ⅱ)用定义证明:函数f(x)。，(Ⅰ)证明:函数的定义域是(∞.0)∪(0,+∞) 由 f(x)=x+ 1 x , 可得 f(x)=x+ 1 x =(x+ 1 x )=f(x) , 所以函数f(x)为奇函数. (Ⅱ)任取x 1 ,x 2 ∈(1,+∞),且x 1 已知f(x)是定义域在【1,1】上的奇函数,且f(1)=1,若对任意a,b∈[1,1],a+b，已知f(x)是定义在【1,1】上的奇函数,且f(1)=1,若a,b∈[1,1],a+b≠0时,有f(a)+f(b)/a+b>0成立,(1)判断f(x)在【1,1】上的单调性,并证明它(2)解不等式f(x+1/2)0成立令b=b∴[f(a)+f(b)]/(ab)>0==>[f(a)f(b)]/(ab)>0∴f(x)在【1,1】上的单调增;(2)解析:f(x+1/2) |