已知函数 f(x)=2ax+ b x +lnx .(Ⅰ)若函数f(x)在x=1,x= 1 2 处取得极值,求a，(Ⅰ)∵f′(x)=2a b x 2 + 1 x ,…(2分) 由 f′(1)=0 f′( 1 2 )=0 ,…(4分) 可得 a= 1 3 b= 1 3 .…(6分) (Ⅱ)函数f(x)的定义域是(0,+∞),…(7分) 因为f′(1)=2,所以b=2a1.…(8分) 所以f′(x)= 2 ax 2 +x(2a1) x 2 = (x+1)[2ax(2a1)] x 2 ,…(9分) 要使f(x)在(0,+∞)上是单调函数,只要f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0。 已知函数f(x)=2ax?bx+lnx在x=1和x=12处取得极值.(Ⅰ)求实数a,b的值;(Ⅱ。，(Ⅰ)函数f(x)定义域为(0,+∞)f′(x)=2a+bx2+1x…(2分) 依题意得,f′(1)=2a+b+1=0f′(12)=2a+4b+2=0,解得,a=?13b=?13 故所求a,b的值为a=b=?13…(5分) (Ⅱ)在[14,2]上存在x0,使不等式f(x0)c≤0成立,只需c≥[f(x0)]min 由(Ⅰ)知f′(x)=?23x?13x2+1x=?(2x?1)(x?1)3x2 当x∈[14,12]时,f′(x)<。 已知函数f(x)=lnxax(a∈R).(1)求函数f(x)的极值点和极值;(2)当a>0时,求。，(1)∵f′(x)=1xa=1?axx(x>0),∴当a≤0时,f′(x)=1?axx>0,即函数f(x)的增区间为(0,+∞),此时f(x)无极值点;当a>0时,令f′(x)=1?axx=0得,x=1a>0.列表如下: x (0,1a) 1a (1a,+∞), f′(x) + 0 f(x) 单调增 极大值 单调减由上表知:函数f(x)的极值点为x=1a,且在该极值点处有极大值为f(1a)=lna1.…(4分)。 设函数f(x)=(2a)lnx+1x+2ax.(1)当a=0时,求f(x)的极值;(2)设g(x)=f。，(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).…(1分) 当a=0时,f(x)=2lnx+1x, ∴f′(x)=2x1x2=2x1x2,…(2分) 由f"(x)=0得x=12, 于是,f(x),f"(x)随x变化如下表: x(0,12。 x1x2, 令f"(x)=0得x1=1a,x2=12,…(10分) 若a>0,由f"(x)≤0得x∈(0,12];由f"(x)≥0得x∈[12,+∞);…(11分) 若a<0,①当a<2时,0<1a<12,x∈(0,1a]或x∈。 设函数f(x)=lnx+x2+ax.(Ⅰ)若x=12时,f(x)取得极值,求a的值;(Ⅱ)若f(x)在其。，f′(x)=1x+2x+a=2x2+ax+1x, (Ⅰ)因为x=12时,f(x)取得极值,所以f′(12)=0, 即2+1+a=0,故a=3.(3分) (Ⅱ)f(x)的定义域为(0,+∞). 方程2x2+ax+1=0的。 若f(x)在其定义域内为增函数,a的取值范围是[22,+∞).(9分) (Ⅲ)证明:g(x)=lnx+ax+1,当a=1时,g(x)=lnxx+1,其定义域是(0,+∞), 令g′(x)=1x1=0,得x。 已知函数f(x)=(2a)lnx+1x+2ax(a∈R).(Ⅰ)当a=0时,求f(x)的极值;(Ⅱ)当a<。，(Ⅰ)依题意知f(x)的定义域为(0,+∞) 当a=0时,f(x)=2lnx+1x,f′(x)=2x1x2=2x1x2 令f′(x)=0,解得x=12当0 设函数f(x)=lnx+12x2(m+2)x,在x=a和x=b处有两个极值点,其中a |