设函数 f ( x )= x + ax 2 + b ln x ,曲线 y = f ( x )在点 P (1,0)处的切线斜率为。，=1+2 ax + , 由题设, y = f ( x )在点 P (1,0)处切线的斜率为2. ∴ 解之得 因此实数 a , b 的值分别为1和3. (2)f( x )定义域(0,+∞),且 f ( x )= x x 2 +3ln x . 设 g ( x )= f ( x )(2 x 2)=2 x x 2 +3ln x , 则 g ′( x )=12 x + = .? 当0< x <1时, g ′( x )>0;当 x >1时, g ′( x )<0. ∴ g ( x )在(0,1)上单调递增;在。 已知函数f(x)=ax 3 x 2 +1(x∈R),其中a>0,(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2。，解:(1)当a=1时, ,f(2)=3; f′(x)= ,f′(2)=6, 所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y3=6(x2),即y=6x9。 (2)f′(x)= , 令f′(x)=0,解得x=0或x= , 以下分两种情况讨论: (1)若0 已知函数f(x)=1/3(x∧3)ax(a>0)g(x)=bx∧2+2b1.若曲线y=f(x)，①f(x)=1/3*x^3ax (a>0), f'(x)=x^2ag(x)=bx^2+2b1, g'(x)=2bxf(x)与g(x)焦点(1,c)公切线则焦点处函数值相同且切线斜率相同即:f(1)=1/3a=b+2b1=g(1)f'(1)=1a=2b=g'(1)联立解a=1/3, b=1/3②若a=12b则 b=(1a)/2h(x)=f(x)+g(x)=1/3*x^3ax+(1a)x^2/2ah'(x)=x^2+(1a)xa。 已知函数f(x)=x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a,b∈R。(1)设两曲线y=f(x)与y=。，解:(1)设y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点(x0,y0)处的切线相同, f′(x)=x+2a,g′(x)=, 由题意知f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0) 即, 解得x0=a或x0=3a(舍去),b=(a>0), b"(a)=5a6alna3a=2a(13lna), ; (2) 要使h(x)在(0,4)上单调,须h′(x)=x+6≤0或h′(x)=x+6≥0在(0,4)上恒成立, h′(x)=x+6≤0在(0,4)上恒成。 已知函数f(x)=x 3 +3ax 2 +bx+a 2 在x=﹣1和x=3处有极值.(1)求a,b的值;(。，解:(1)由题意,∵函数f(x)=x 3 +3ax 2 +bx+a 2 在x=﹣1和x=3处有极值 ∴f′(x)=3x 2 +6ax+b的解为﹣1,3 ∴ , ∴ (2)由(1)知,f′(x)=3x 2 ﹣6x﹣9 当x=1时,f′(1)=3﹣6﹣9=﹣12 当x=1时,f(1)=1﹣3﹣9+1=﹣10 ∴曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y+10=﹣12(x﹣1), 即12x+y﹣2=0. 已知函数f(x)=x+ax+b(x≠0),其中a,b∈R.(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处。，试题答案:(Ⅰ)f′(x)=1ax2,由导数的几何意义得f'(2)=3,于是a=8. 由切点P(2,f(2))在直线y=3x+1上可得2+b=7,解得b=9. 所以函数f(x)的解析式为f(x)=x8x+9. (Ⅱ)f′(x)=1ax2. 当a≤0时,显然f'(x)>0(x≠0).这时f(x)在(∞,0),(0,+∞)上内是增函数. 当a>0时,令f'(x)=0,解得x=±a. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化。 设函数 f ( x )= ax n (1 x )+ b ( x >0), n 为正整数, a , b 为常数.曲线 y = f ( x 。，(1) a =1, b =0. (2) (1)因为 f (1)= b ,由点(1, b )在 x + y =1上,可得1+ b =1,即 b =0. 因为 f ′( x )= anx n 1 a ( n +1) x n ,所以 f ′(1)= a . 又因为切线 x + y =1的斜率为1,所以 a =1,即 a =1.故 a =1, b =0. (2)由(1)知, f ( x )= x n (1 x )= x n x n +1 , f ′( x )=( n +1) x n 1 . 令 f ′( x )=0,解得 x = ,在 上, f ′。 设函数 f(x)= 1 3 x 3 a 2 x 2 +bx+c ,其中a>0,曲线y=f(x)在点P(0,f，由f(x)= 1 3 x 3 a 2 x 2 +bx+c 得: f(0)=c,f′(x)=x 2 ax+b,f′(0)=b. 又由曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y=1, 得到f(0)=1,f′(0)=0. 故b=0,c=1. |