函数f(x)=x3+ax2+bx2的图象在与y轴交点的切线方程为y=x+a.(1)求函数f(。，(1)由已知可得切点为(0,2),所以a=2, 又因为f′(x)=3x2+2ax+b, 所以f′(0)=b=1. 所以函数解析式为f(x)=x32x2+x2. (2)由(1)可得:g(x)=x32x2+x2+13mx, 所以g′(x)=3x24x+1+m3,令g′(x)=0. 当函数有极值时,方程3x24x+1+m3=0有实根,即△≥0, 由△=4(1m)≥0,得m≤1. ①当m=1时,g′(x)=0有。 已知函数f(x)=ax3+bx23x(a,b∈R)在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=0.(I)求。，∵过点M(2,m)(m≠2)可作曲线y=f(x)的三条切线, ∴方程2x036x02+6+m=0有三个不同的实数解,(8分) ∴函数g(x)=2x36x2+6+m有三个不同的零点, ∴g(x)的极大值为正、极小值为负(10分) 则g'(x)=6x212x.令g'(x)=0,则x=0或x=2,列表: 由6+m>0?2+m<0,解得实数m的取值范围是6 已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx。(1)若函数f(x)过点(1,2)且在点(1,f(1))处。，试题答案:解:(1)∵函数f(x)过点 ∴ ① 又,函数在点处的切线方程为 ∴ ∴ ② 由①和②解得,, 故; (2)由(1),令 解得 ∴,,, ∴在区间上, ∴对于区间上任意两个自变量的值 ∴ 从而t的最小值为20; (3)∵ 则 可得 ∵当时, ∴,, ∴ ∴,故a的最大值为 当时,解得, ∴a取得最大值时。 已知函数f(x)13ax3+bx2+x+3,其中a≠0.(1)当a,b满足什么条件时,f(x)取得。，(1)由已知得f′(x)=ax2+2bx+1, 令f′(x)=0,得ax2+2bx+1=0, f(x)要取得极值,方程ax2+2bx+1=0,必须有解, 所以△=4b24a>0,即b2>a, 此时方程ax2+2bx+1=0的根为 x1=?2b?4b2?4a2a=?b?b2?aa,x2=?2b+4b2?4a2a=?b?+b2?aa, 所以f′(x)=a(xx1)(xx2) 当a>0时, 所以f(x)在x1,x2处分别取得极。 已知函数f(x)=13ax3?bx2+(2?b)x+1在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得。，解:求出函数f(x)的导函数f'(x)=ax22bx+2b. (1)由函数f(x)在x=x1处取得极大值, 在x=x2处取得极小值,知x1,x2是f'(x)=0的两个根. 所以f'(x)=a(xx1)(xx2) 当x 已知函数f(x)=ax3+bx2的图象在点(1,2)处的切线斜率为3,又f(x)在[m,m+1]。，f′(x)=3ax2+2bx, 因为函数过(1,2),且切线与x3y=0垂直得到切线的斜率为3, 得到:f(?1)=2 f′(?1)=?3即 ?a+b=23a?2b=?3 解得:a=1 b=3,则f(x)=x3+3x2, 令f′(x)=3x2+6x=3x(x+2)≥0, 解得:x≥0或x≤2,即x≥0或x≤2时,f(x)为增函数; 又f(x)在[m,m+1]上单调递增, 则[m,m+1]?(∞,2]或。 函数f(x)=x3x2+x+1在点(1,2)处的切线与函数g(x)=x2围成的图形的面积。，解:∵(1,2)为曲线f(x)=x3x2+x+1上的点,设过点(1,2)处的切线的斜率为k, 则k=f′(1)=(3x22x+1)|x=1=2, ∴过点(1,2)处的切线方程为:y2=2(x1),即y=2x. ∴y=2x与函数g(x)=x2围成的图形如图: 由y=2xy=x2得二曲线交点A(2,4), 又S△AOB=12×2×4=4,g(x)=x2围与直线x=2,x轴围成的区域的面积S。 设函数f(x)=ax3+bx+c(a≠0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线。，(Ⅰ)∵f(x)为奇函数, ∴f(x)=f(x) 即ax3bx+c=ax3bxc ∴c=0 ∵f'(x)=3ax2+b的最小值为12 ∴b=12 又直线x6y7=0的斜率为16 因此,f'(1)=3a+b=6 ∴a=2,b=12,c=0. (Ⅱ)f(x)=2x312x.f′(x)=6x2?12=6(x+2)(x?2),列表如下: 所以函数f(x)的单调增区间是(?∞,?2)和(2,+∞) ∵f(1)=10,f(2)=?82,f(3)=18 ∴f。 已知函数f(x)=13ax3bx2+(2b)x+1在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得。，解:(1)f′(x)=ax22bx+(2b), 由题意得a(12)2?2b×12+(2?b)=0a(32)2?2b×32+(2?b)=0,即14a?2b+2=094a?4b+2=0, 解得a=87b=87. (2)在题设下,0 已知函数f(x)=ax3+bx2+c(a,b,c∈R,a≠0)的图象过点P( 1,2),且在点P处。，由f(x)=ax3+bx2+c的图象过点P(1,2)可知:a+b+c=2①, 又f′(x)=3ax2+2bx,因为f(x)点P处的切线与直线x3y=0垂直, 所以f′(1)=3a2b=3②, 联立①②解得:a=12c,b=33c, 则f′(x)=3(12c)x2+6(1c)x, (i)当c∈[0,12)时,12c>0, 令f′(x)=0,解得x1=0,x2=2(1?c)1?2c<0, 显然,当x>0或x<2(1?c)1?2c时,f′。 |