已知函数f(x)=12ax2(2a+1)x+2lnx(1)若曲线y=f(x)在。，解答:解:(1)∵f(x)=12ax2(2a+1)x+2lnx, ∴f′(x)=ax(2a+1)x+2x(x>0), 依题意,f′(1)=f′(4),即a(2a+1)+2=4a(2a+1)+12,解得a=12; (2)f′(x)=(ax1)(x。 由已知,在(0,2]上有f(x)max 已知函数f(x)=lnx12ax22x+1,a∈R(Ⅰ)若f(x)在x=2处。，解答:解:(Ⅰ)直线2x+y=0的斜率k=2, 若f(x)在x=2处的切线与直线2x+y=0垂直, 则f′(2)=12, ∵f(x)=lnx12ax22x+1, ∴f′(x)=1xax2, 则f′(2)=122a2=12, 解得a=1; (Ⅱ)若f(x)存在单调递减区间, 即f′(x)=1xax2<0在(0,+∞)上有解, 即1x2 已知函数f(x)=lnx12ax22x,其中a∈R,a≠0.(Ⅰ)若(1,f。，上的增函数, 当0 如果函数 f(x)= 2a b ln(x+1) 的图象在x=1处的切线l过点( 0, 1 b ),并且l与。，求导得:f′(x)= 2a b ? 1 x+1 , 由题意得:f(x)函数图象在x=1处的切线l过点(0, 1 b ), ∴切线l的斜率为f′(1)= a b , ∴切线l方程为y+ 1 b = a b x,即ax+by+1=0, ∵直线l与圆C:x 2 +y 2 =1相离,且圆心坐标为(0,0),半径r=1, ∴圆心到直线l的距离d= 1 a 2 + b 2 >1=r,即a 2 +b 2 <1, ∴点(a,b)与圆C的位置。 已知函数f(x)=lnxax+1在x=2处的切线斜率为12. (I)求实数a。，(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞). 由已知得:f′(x)=1xa,f′(2)=12a=12,解得a=1. 于是f′(x)=1x1=1xx,当x∈(0,1)时,f′(x)>0,f (x)为增函数, 当x∈(1,+∞)时,f′(x) 设曲线f(x)=lnx12x在点(1,12)处的切线与直线axy+1=0垂。，解:∵f(x)=lnx12x,∴f′(x)=1x12,∴曲线f(x)=lnx12x在点(1,12)处的切线的斜率k=f′(1)=112=12,∵曲线f(x)=lnx12x在点(1,12)处的切线与直线axy+1=0垂直,∴直线axy+1=0的斜率k′=a=2.故选C. 已知函数f(x)=12x2+lnx.(Ⅰ)求函数f(x)在[1,e]上的最大值、最小值;(Ⅱ)。，(Ⅰ)f(x)=12x2+lnx f′(x)=x+1x,当x∈[1,e]时,f′(x)>0,∴f(x)在[1,e]上为增函数,∴f(x)min=f(1)=12,f(x)max=f(e)=12e2+1. (Ⅱ)设F(x)=12x2+lnx23x3,则。 nxn4+…+cn1n1xn2 =12[c1n(xn2+1xn2)+c2n(xn4+1xn4)+…+cn1n(1xn2+xn2)]≥12(2c1n+2c2n+…+2cn1n)=2n2=2n2. ∴[f′(x)]nf′(xn)≥2n2(n∈。 曲线f(x)=lnx12x2在x=1处的切线方程为_.，解答:解:函数的导数为f′(x)=1xx,∴f'(1)=11=0 f(1)=12, ∴切线方程为y=12, 故答案为:y=12. 己知函数f(x)=lnxax+1在x=2处的切线斜率为12.(1)求实数a的。，(1)解:由已知:f′(x)=1xa,∴由题知f′(2)=12a=12, 解得a=1.∴f′(x)=1x1=1xx, 当x∈(0,1)时,f′(x)>0,f (x)为增函数, 当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f (x)为减函数, 即f (x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). (2)证明:要证明ln222+ln332+…+lnnn2<2n2n14(n+1)(n∈N*.n≥2。 已知函数f(x)=lnxax+1在x=2处的切线斜率为12.(I)求实数a的。，解:(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞).由已知得:f′(x)=1xa,f′(2)=12a=12,解得a=1.于是f′(x)=1x1=1xx,当x∈(0,1)时,f′(x)>0,f (x)为增函数,当x∈。 =x2+2kx+kx=x+kx+2k=(x+kx)+2k≤2k+2k,∴只须2k+2k≥0,解得k≥1.故k的取值范围[1,+∞).(Ⅲ)要证明:ln222+ln332+…+lnnn2<2n2n14(n+1)(n∈。 |