已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R).(Ⅰ)若a=2,求曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率;(。，试题答案:解:(Ⅰ)由已知,则f'(1)=2+1=3. 故曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率为3; (Ⅱ). ①当a≥0时,由于x>0,故ax+1>0,f'(x)>0 所以,f(x)的单调递增区间为(0,+∞). ②当a<0时,由f'(x)=0,得. 在区间上,f'(x)>0, 在区间上f'(x)<0, 所以,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为; (Ⅲ)由已知,转化为f(x)max<。 已知函数f(x)=x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a,b∈R。(1)设两曲线y=f(x)与y=。，f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点(x0,y0)处的切线相同, f′(x)=x+2a,g′(x)=, 由题意知f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0) 即, 解得x0=a或x0=3a(舍去),b=(a>0), b。 a=2a(13lna), ; (2) 要使h(x)在(0,4)上单调,须h′(x)=x+6≤0或h′(x)=x+6≥0在(0,4)上恒成立, h′(x)=x+6≤0在(0,4)上恒成立3a2≤x2+6x在(0,4)上。 已知函数f(x)=ax2(a+2)x+lnx,a∈R(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处。，(Ⅰ)当a=1时,f(x)=x2?3x+lnx,f(x)=2x?3+1x.…(2分) 因为f'(1)=0,f(1)=2. 所以切线方程是y=2.…(4分) (Ⅱ)函数f(x)=2ax(a+2)x+lnx的定义域是(0,+∞).…(5分) 当a>0时,f′(x)=2ax?(a+2)+1x=2ax2?(a+2)x?1x(x>0) 令f′(x)=0,即f′(x)=2ax2?(a+2)x+1x=(2x?1)(ax?1)x=0, 所以x=12或x=1a.…(7分) 当0<。 已知a∈R,函数f(x)=x2(xa),若f′(1)=1.(1)求a的值并求曲线y=f(x)在点(1。，(1)f"(x)=3x22ax,由f"(1)=1得32a=1,所以a=1; 当a=1时,f(x)=x3x2,f(1)=0,又f"(1)=1, 所以曲线y=f(x)y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y0=1×(x1),即g(x)=x1; (2)由(1)得h(x)=3x2x1=3(x16)21312, 又h(0)=1,h(1)=1,h(16)=1312, ∴h(x)在[0,1]上有最大值1,有最小值1312. 已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R).(1)若a=2,求曲线y=f(x)在x。，=2+1=3. 故曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率为3. (2)求导函数可得f′(x)=a+1/x=ax+1/x (x>0). 当a<0时,由f'(x)=0,得x=1/a . 在区间(0,1/a)上,f'(x)>0;在区间(1/a,+∞)上,f'(x)<0, 所以,函数f(x)的单调递增区间为(0,1/a),单调递减区间为(1/a,+∞) (3)由已知转化为f(x)max 已知函数f(x)=ax332x2+1(x∈R),其中a>0.(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点。，(Ⅰ)当a=1时,f(x)=x332x2+1,f(2)=3; 得到f′(x)=3x23x, 则f′(2)=6, 所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为:y3=6(x2),即y=6x9; (Ⅱ)f′(x)=3ax23x=3x(ax1).令f′(x)=0,解得x=0或x=1a, 因a>0,则0<1a. 当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如表: X(∞,0)0(0,1a)1a(1a,+∞)F’(x)+00+f(x)递增极大值递。 已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2x)x2+8x8,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的。，A 试题分析:因为,所以,即切点为。因为,所以,解由以上两式组成的方程组可得,所以,所以。根据导数的几何意义可得在点处切线的斜率为2,则所求切线方程为,即。故A正确。 已知函数f(x)=x2(1+2a)x+aln x(a为常数).(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在x=1处。，(1)y=2x. (2)函数f(x)的单调增区间是,单调减区间是.解:(1)当a=1时,f(x)=x2+xln x, 则f′(x)=2x+1, 所以f(1)=2,且f′(1)=2. 所以曲线y=f(x)在x=1处的切线的方程为 y2=2(x1),即y=2x. (2)由题意得f′(x)=2x(1+2a)+ = = (x>0). 由f′(x)=0,得x1=,x2=a. ①当00, 得0 已知函数f(x)=2a2lnx+12x2+ax(a∈R).(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点。，函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2a2x+x+a.…(2分) (Ⅰ) 当a=1时,f(1)=32,f"(1)=2+1+1=0, 所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))的切线方程为y=32.…(5分) (Ⅱ)f′(x)=x2+ax2a2x=(x+2a)(xa)x,…(6分) (1)当a=0时,f"(x)=x>0,f(x)在定义域为(0,+∞)上单调递增,…(7分) (2)当a>0时,令f"(x)=0,得x1=2a(舍去),x2=。 |