已知函数f(x)= x3+mx2+nx2的图像过点(1,6),且函数g(x。，求m,n的值和函数y=f(x)的单调区间. 问题是这样吗? 我试着写下 ∵f(x)过点(1,6) ∴f(1)=6 即:mn=3 ∵g(x)=3x^2+2mx+n+6x 又∵g(x)关于y轴对称 ∴g(x)=g(x) 即:m=3 ∴n=0 f(x)=x^36x2 f'(x)=3x^26 令f'(x)=0,即x=±√2 ∴f(x)的单调增区间为(∞,√2),(√2,+∞) 单调减区间为(√2,√2) 已知函数f(x)=x 3 +mx 2 +nx2的图象过点(1,6),且函数g(x)=f′(x)+6x是偶。，解:(Ⅰ)由函数f(x)图象过点(1,6),得mn=3,①………………1分 由f(x)=x 3 +mx 2 +nx2,得f′(x)=3x 2 +2mx+n,………………………………………2分 则g(x)=f′(x)+6x=3x 2 +(6+2m)x+n; 而g(x)图象关于y轴对称,所以 =0,所以m=3, 代入①得n=0.……………………………………………………………。 设二次函数f(x)=mx2+nx+t的图象过原点,g(x)=ax3+bx﹣3(x>0),f(x),g(x)的。，试题答案:解:(1)由已知得t=0,f'(x)=2mx+n, 则f'(0)=n=0,f'(﹣1)=﹣2m+n=﹣2, 从而n=0,m=1, ∴f(x)=x2,f'(x)=2x,g(x)=3ax2+b. 由f(1)=g(1),f'(1)=g'(1), 得。 而函数f(x)在点(1,1)的切线方程为y=2x﹣1. 下面验证都成立即可. 由x2﹣2x+1≥0,得x2≥2x﹣1,知f(x)≥2x﹣1恒成立. 设h(x)=﹣x3+5x﹣3﹣(2x﹣。 已知函数f(x)=x2+mx+n的图象过点(1,3),且f(1+x)=f(1x)对任意实数都成立。，(1)由题意知:1+m+n=3对称轴为x=1故m2=1 解得m=2,n=0, ∴f(x)=x2+2x, 设函数y=f(x)图象上的任意一点Q(x0,y0)关于原点的对称点为P(x,y), 则x0=x,y0=y,因为点Q(x0,y0)在y=f(x)的图象上, ∴y=x22x, ∴y=x2+x, ∴g(x)=x2+2x. (2)F(x)=x2+2xλ(x2+2x)=(1+λ)x2+2(1λ)x ∵F(x)在(1,1]上是增函且。 已知函数f(x)=x^2+mx+n的图像过点(1,3),，1.f(x)=x^2+mx+n, ①函数f(x)=x^2+mx+n的图像过点(1,3),则3=1+m+n; ②f(1+x)=f(1x),(1+x)^2+m(1+x)+n=(1x)^2+m(1x)+n,则(m2)x=0,所以必有m=2,于是n=0. 所以f(x)=x^2+2x. 函数y=g(x)与y=f(x)的图像关于原点对称:g(x)=f(x)=x^2+2x. 2.F(x)=g(x)λf(x)=(1+λ)x^2+2(1λ)x. ①当λ=1时,F。 设函数f(x)=x33x2+2x,若过f(x)图象上一点P(x0,y0)(x0≠0)的切线为l:y=kx。，易见O(0,0)在函数y=x33x2+2x的图象上,y′=3x26x+2,但O点未必是切点. 根据题意可知切点为点P(x0,y0), ∵y′=3x26x+2, ∴切线斜率为3x026x0+2,又切线过原点, ∴kx0=y0x0=3x026x0+2即:y0=3x036x02+2x0① 又∵切点A(x0,y0)y=x33x2+2x的图象上, ∴y0=x033x02+2x0② 由①②得:x0=0。 已知函数f(x)=2x+32x3,g(x)与f(x)的图象关于直线y=x对称,。，解:∵g(x)与f(x)的图象关于直线y=x对称, ∴g(x)为f(x)的反函数, 由y=f(x)=2x+32x3,得y•2x3y=2x+3,即2x=3(y+1)y1, x=log23(y+1)y1(y≠1). ∴函数f(x)的反函数为g(x)=log23(x+1)x1,x∈(∞,1)∪(1,+∞). 故答案为:log23(x+1)x1,x∈(∞,1)∪(1,+∞). 设二次函数f(x)=mx2+nx+t的图像过原点,g(x)=ax3+bx−3(x。， 解 :(Ⅰ)由已知得t=0,=2mx+n, 则=n=0, =−2m+n=−2,从而n=0, m=1, ∴f(x)=x2. 则=2x, g¢(x)=3ax2+b. 由f(1)=g(1), =g¢(1)得a+b−3=2,3a+b=2,解得a=−1,b=5, ∴g(x)=−x3+5x−3(x>0) ……4分 (Ⅱ)∵F(x)=f(x)&#。 已知函数y=f(x)的图象过点(2,3),且满足f(x2)=ax2(a。，即f(x)=x2+1(15分) (II)g(x)=f[f(x)]=f(x2+1)=(x2+1)2+1=x4+2x2F(x)=pg(x)4f(x)=p(x4+2x2)4(x2+1)=px4+(2p+4)x24Fn(x)=4px3+4(p+2)x=4x(px2p2) ∵f(2)=3,假设存在正实数p,使F(x)在(∞,3)上是增函数,在(3,0)上是减函数∴Fn(3)=0,解得p=14(10分) 当p=14时,Fn(x)=x3+9x=x(3x)(3+x) 当x0∴F(x)在。 |