已知函数f(x)=lnx,g(x)=x2﹣1.(1)求函数h(x)=f(x)﹣g(x)的最值;(2)对于一切。，令函数F(x)=lnx﹣k(x2﹣1)得 当k≤0时,F"(x)>0恒成立, 所以F(x)在(0,+∞)递增,故x>1时,F(x)>F(0)=0不满足题意. 当k>0时,当时,F"(x)>0恒成立,函数F(x)递增; 当时,F"(x)<0恒成立,函数F(x)递减. 所以; 即 F(x)的最大值. 令,则. 令函数, 所以当t∈(0,1)时,函数H(t)递减; 当t∈(1,+∞)时,函数H(x)递增;。 已知函数f(x)=xlnx,g(x)=x26x+1.(Ⅰ)求函数y=4f(x)x+g(x)的单调递增区间。，(Ⅰ)函数y=4f(x)x+g(x)=4lnx+x26x+1,(x>0), ∴y′=4x+2x6=2x26x+4x=2(x1)(x2)x, 令y′>0,解得0 已知函数f(x)=xlnx,g(x)=x+a2x,(其中a>0).(Ⅰ)求曲线y=f(x)在(1,f。，(Ⅰ)f(1)=1ln1=1,f′(x)=11x,则f′(1)=0,即切线斜率为0, 故曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y1=0?(x1),即y=1; (Ⅱ)h(x)=f(x)+g(x)=xlnx+x+a2x=2x+a2xlnx,定义域为(0,+∞), ∴h′(x)=2a2x21x=2x2xa2x2, 令h′(1)=0,解得a2=1, 又a>0,∴a=1, 经验证a=1符合条件. (Ⅲ)对任意的x1,x2∈[1,e]都有f(x。 已知函数f(x)=xlnx,g(x)=x 2 6x+1.(Ⅰ)求函数y= 4f(x) x +g(x) 的单调递增。，∴函数y= 4f(x) x +g(x) 的单调递增区间是(0,1)和(1,+∞). (II)f ′ (x)=lnx+1,令f ′ (x)=0,解得 x= 1 e . 当 0 已知函数f(x)=xlnx,g(x)=x2+ax3.(Ⅰ)求函数f(x)的最小值;(Ⅱ)对一切x∈。，(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)的导数f"(x)=1+lnx. 令f"(x)>0,解得x>1e; 令f"(x)<0,解得0 已知函数f(x)=x+xlnx。(1)求函数f(x)的图像在点(1,1)处的切线方程;(2)若k。，解:(1)因为 所以 函数 的图像在点 处的切线方程 ; (2)由(1)知 所以 对任意 恒成立 即 对任意 恒成立 令 则 令 ,则 所以函数 在 上单调递增 因为 所以方程 在 上存在唯一实根 ,且满足 当 即 当 即 所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增 所以 所以 故整数k的最大值是3; (3)由(2)知, 是 上的增函数。 f(x)=xlnx,x1>0,h(x)=[f(x)f(x1)]/(xx1),x>x1,判断h(x)的单调性，图" class="ikqb_img_alink">图" class="ikqb_img_alink">由题图" class="ikqb_img_alink">设图" class="ikqb_img_alink">显x=x1g(x)零点x>x1,g增函数所g(x)>0恒立即h'(x)>0恒立所h(x)增函数 已知函数f(x)=xlnx(Ⅰ)求函数f(x)的极值点;(Ⅱ)若直线l过点(0,1),并且与。，(Ⅰ)f'(x)=lnx+1,x∈(0,+∞) 又∵当f'(x)=lnx+1=0,得x=1e,如下表 ∴f(x)在(0,1e)上单调递减,在( 1e,+∞)上单调递增,在x=1e处取得极小值, 且极小值为f(1e)=1e. (Ⅱ)∵f'(x)=lnx+1, ∴f(x)=xlnx在(x0,x0lnx0)处的切线方程为yx0lnx0=(lnx0+1)(xx0), ∵切线l过点(0,1), ∴1x0lnx0=(lnx0+1)(x0), 解得x0=1, ∴。 |