已知抛物线C:y2=4x,直线l:y=x+b经过抛物线的焦点且与抛物线交于A,B。，抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0) ∵直线l:y=x+b经过抛物线的焦点 ∴b=1, ∴直线l:y=x1(2分) 由抛物线的定义:|AB|=xA+p2+xB+p2=xA+xB+2,(4分) 将直线与抛物线方程联立y2=4xy=x1,消去y可得x26x+1=0 ∴xA+xB=6, ∴|AB|=8(8分) ∵原点到直线的距离为dOl=12(10分) ∴S△OAB=12×|AB|×d。 如图,已知抛物线C:y2=4x焦点为F,直线l经过点F且与抛物线C相交于A,B。，(Ⅰ)由已知得交点坐标为F(1,0),…(1分) 设直线l的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(x0,y0) 则x0=x1+x22y0=y1+y22,y12=4x1y22=4x2?(y1+y2)(y1y2)=4(x1x2), 所以2y0k=4,又y0=1,所以k=2…(5分) 故直线l的方程是:y=2x2…(6分) (Ⅱ)设直线l的方程为x=my+1,…(7分) 与抛物线方程联立得x=m。 已知抛物线y2=4x,F是焦点,直线l是经过点F的任意直线.(1)若直线l与。，试题答案:(1)设动点M的坐标为(x,y).?????????????????? ∵抛物线y2=4x的焦点是F(1,0),直线l恒过点F,且与抛物线交于两点A、B, 又OM⊥AB, ∴OM⊥FM,即OM?FM=0.??????????????????? ∴(x,y)?(x1,y)=0,化简,得x2+y2x=0.? 又当M与原点重合时,直线l与x轴重合,故x≠0. ∴所求动点。 设抛物线C:y2=4x,F为C的焦点,过F的直线L与C相交于A、B两点.(1)设L。，(1)依题意得F(1,0),∴直线L的方程为y=2(x1), 设直线L与抛物线的交点A(x1,y1),B(x2,y2), 联立y=2(x1)y2=4x消去y整理得x23x+1=0, ∴x1+x2=3,x1x2=1. 法一:|AB|=1+k2|x1x2|=1+k2?(x1+x2)24x1x2=5?324?1=5. 法二:|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=3+2=5. (2)证明:设直线L的方程为x=ky+1, 设直线L与。 。倾斜角为α的直线经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线交于A、B两点,。，抛物线的焦点坐标为(1,0),准线方程是x=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0), 根据抛物线的定义,可得|AF|=x1+p2,|BF|=x2+p2, ∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=x1+x2+2 ∵Q为A、B中点, ∴x1+x2=2x0,且y1+y2=2y0.因此可得|AB|=2x0+2 ∵A、B两点在抛物线y2=4x上, ∴y12=4x1,且y22=4x2,两式相。 过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=10,则AB的中点。，解:抛物线y2=4x焦点(1,0),准线为 l:x=1, 设AB的中点为 E,过 A、E、B 分别作准线的垂线,垂足分别为 C、F、D,EF交纵轴于点H,如图所示:则由EF为直角梯形的中位线知, EF=AC+BD2=AF+FB2=AB2=5,∴EH=EF1=4,则AB的中点到y轴的距离等于4. 故选D. |