已知等差数列 的前n项和为 ,若 ,且A、B、C三点共线(O为该直线外一点。，解:因为由题意可知 ,因此则可知 已知A、B、C三点共线,O为直线外任意一点,且OA=mOB+nOC(m,n>0)。，由题意,∵A、B、C三点共线 ∴m+n=1 ∴1m+9n=(1m+9n)(m+n)=10+nm+9mn≥16 即1m+9n的最小值为16 故选C. (本小题满分15分)已知A、B、C是直线 上的不同的三点,O是直线外一点。，. (1) A、B、C三点共线, (2) , ,则 又由(1)得, , ,则 要证原不等式成立,只须证: (*) 设 . 在 上均单调递增,则 有最大值 ,又因为 ,所以 在 恒成立. 不等式(*)成立,即原不等式成立. (3)方程2 即 令 , 当 时。 已知A、B、C三点共线,O为直线外任意一点,且 OA =m OB +n OC，由题意,∵A、B、C三点共线 ∴m+n=1 ∴ 1 m + 9 n =( 1 m + 9 n )(m+n)=10+ n m + 9m n ≥16 即 1 m + 9 n 的最小值为16 故选C. 已知A、B、C三点共线,O为直线外任意一点,且,则的最小值为( )，spanC 已知A、B、C三点共线,O是这条直线外一点,设OA=a,OB=b,OC=c,且存。，解:由向量减法的三角形法则可知, BA=ab,AC=ca ∵BA,AC共线, ∴存在实数λ,满足ab=λ(ca), 即(λ+1)abλc=0, ∴3b=(3λ+3)a3λc, 又∵3b=mac, ∴根据平面向量基本定理得3λ=1,即λ=13. 故选:C. A、B、C三点共线,O点在直线外,O1,O2,O3分别为△OAB,△OBC,△。，证明:连接OO1,OO2,OO3,O1O2,O1O3,AO3,BO2, ∵O1,O2,O3分别为△OAB,△OBC,△OCA的外心, ∴O1O2垂直平分OB,O1O3垂直平分OA, 由圆周角定理可得,∠OO2O1=12∠OO2B=∠OCB,∠OO3O1=12∠OO3A=∠OCA, ∴∠OO2O1=∠OO3O1, ∴O,O1,O2,O3共圆. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若=a1+a2011,且A、B、C三点共线(O。，B 分析:首先由三点共线可得a2+a2011=1,又因为{an}为等差数列,利用等差数列的性质及前n项和公式求解即可。 解答: ∵A、B、C三点共线, ∴a1+a2011=1, ∴S2011=(a1+a2011)/2×2011=2011/2。 故选B。 点评:本题主要考查了数列与向量的综合,解答关键是应用等差数列的前n项和公。 已知A、B、C三点在同一条直线l上,O为直线l外一点,若 p OA +q OB +r，∵A、B、C三点在同一条直线l上 ∴ 存在实数λ使 AB =λ AC ∴ OB OA =λ( OC OA ) 即(λ1) OA + OB λ OC = 0 ∵ p OA +q OB +r OC = 0 ∴P=λ1,q=1,r=λ ∴p+q+r=0 故选B |