设a为实数,函数f(x)=ex2x+2a,x∈R.(1)求f(x)的单调区间及极值; (2)求证:。，(1) (2)见解析 试题分析:(1)首先求出的导数,解方程,进一步得到不等式与的解集,从而得到函数的单调区间和极值. (2)欲证当a>ln21且x >0时,ex>x22ax+1, 令 则只需证当时, 从而转化为利用导数求的最小值问题. 试题解析:解:(1)由知 令得于是当变化时,的变化情况如下表: 0 + 单调递减 单。 已知函数f(x)=x33ax(a>0), (1)当a=1时,求f(x)的单调区间; (2)求函数y=f。，解:(1)当a=1时,, 所以, 令得x=±1,列表: ∴f(x)的单调递增区间是;单调递减区间是(1,1)。 (2)由得, , ①当0 设函数(x>0且x≠1)。(1)求函数f(x)的单调区间;(2)已知对任意x∈(0,1)。，解:(1) 令 则 列表如下: 所以f(x)的单调增区间为,单调减区间为和。 (2)在两边取对数,得: 由于,所以① 由(1)结果知,当时, 为使①式对任意求成立,当且仅当,即为所求范围。 已知x=1为函数f(x)=(x 2 ax+1)e x 的一个极值点。(1)求a及函数f(x)的。，解:(1) 由 得:a=2 ∴f(x)在(∞,1),(1,+∞)上单调递增,f(x)在(1,1)上单调递减 (2)x∈(2,2)时,f(x)最小值为0 ∴ 对t∈[1,2]恒成立,分离参数得:m≥ 易知:t∈[1,2]时 ,∴m≥ 。 已知函数f(x)=x³3ax²+3x+1.设a=2,求f(x)的单调区间，解: ∵a=2 ∴f(x)=x³6x²+3x+1 f'(x)=3x²12x+3 令f'(x)>0 ∴x²4x+1>0 ∴x>2+√3或x<2√3 令f'(x)<0 ∴x²4x+1<0 2√3<x<2+√3 ∴f(x)单调增区间(∞2√3)(2+√3+∞) 单调减区间(2√32+√3) 已知函数f(x)=x +1alnx,a>0, (Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)设a=3,求f(x)在区间。，解:(1)由于 , 令 得 , ①当 ,即 时,f(x)≥0恒成立, ∴f(x)在(∞,0)及(0,+∞)上都是增函数; ②当 ,即 时, 由 得 , ∴ ; 又由 得 , ∴ , 综上,①当 时,f(x)在(∞,0)及(0,+∞)上都是增函数; ②当 时,f(x)在 上是减函数,在 上都是增函数; (2)当a=3时,由(1)知f(x)在[1,2]上是减函数,在 上是增函数, 又 , ∴函数f(x)在 上。 |