设函数f(x)=lnx,g(x)=ax(a>0)(1)当a=2时,求h(x)=f(x)+g(x)的最小值;(2)若h(x。，=lnx+2x,则h′(x)=x?2x2,所以0 设a>0,函数f(x)=lnxax,g(x)=lnx2(x1)x+1 (1。，(1)证明:g′(x)=1x4(x+1)2=(x1)2x(x+1)2,由于已知x>1,∴g'(x)>0恒成立∴g(x)在(1,+∞)递增,∴g(x)>g(1)=0 ∴x>1时,g(x)>0恒成立. (2)f(x)=lnxax的定义域是(0,+∞),f′(x)=1xa=1axx, 由于a>0,x>0,令f′(x)>0,解得00, 故不妨令x1>x2>0,且有lnx1=ax1,lnx2=ax2 ,∴lnx1+lnx2=a(x1+x2),lnx1lnx2=a(x1x。 已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax(a>0),设F(x)=f(x)+g(x).(Ⅰ)求函数F(x)的单调。，(I)F(x)=f(x)+g(x)=lnx+ax(a>0), F′(x)=1xax2=x?ax2(x>0). ∵a>0,由F′(x)>0?x∈(a,+∞),∴F(x)在(0,+∞)上单调递增. 由F′(x)<0?x∈(0,a),∴F(x)在(0,a)上单调递减. ∴F(x)的单调递减区间为(0,a),单调递增区间为(a,+∞) (II)若y=g(2ax2+1)+m1=12x2+m12的图象与y=f(1+x2)=ln(x2+1)的图象恰有。 已知函数f(x)=alnx+bx(x>0),g(x)=x?ex1(x>0),且函数f(x)在点P(1,f(1))处的。，(Ⅰ)f(x)=alnx+bx(x>0),∴f′(x)=ax+b. ∵函数f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为y=2x1, ∴f(1)=1f′(1)=2,即b=1a+b=2,解得a=b=1, ∴f(x)=lnx+x(x>0). (Ⅱ)由P(1,1)、Q(x0,lnx0+x0),得kPQ=lnx0+x0?1x0?1, ∴“当x0>1时,直线PQ的斜率恒小于m”?当x0>1时,lnx0+x0?1x0?1 。函数f(x)=lnxax 2 (2a)x。(1)讨论f(x)的单调性;(2)设a>0,证明:当0 已知函数f(x)=lnx,g(x)=(a>0),设F(x)=f(x)+g(x),(Ⅰ)求函数F(x)的单调区间。，解:(Ⅰ), ∵a>0,由, ∴F(x)在(a,+∞)上单调递增; 由, ∴F(x)在(0,a)上单调递减, ∴F(x)的单调递减区间为(0,a),单调递增区间为(a,+∞); (Ⅱ), , 当时,取得最大值, ∴。 (Ⅲ)若的图象与的图象恰有四个不同的交点, 即有四个不同的根, 亦即有四个不同的根, 令, 则, 当x变化时,G′(x)、G(x)的变化情况。 已知函数f(x)=ax+lnx,x∈(1,e),且f(x)有极值.(1)求实数a的取值范围;(2)求。，(1)由f(x)=ax+lnx求导可得:f′(x)=a+1x.(2分) 令f′(x)=a+1x=0,可得a=?1x ∵x∈(1,e),∴?1x∈(?1,?1e)∴a∈(?1,?1e)(3分) 又因为x∈(1,e) 所以,f(x。 函数f(x)的值域为(a,1+ln(?1a)].(10分) (3)证明:由g(x)=x3x2求导可得g'(x)=3x21(11分) 令g'(x)=3x21=0,解得x=±33 令g'(x)=3x21>0,解得x 。(x)=(a+1)lnx+ax 2 +1。 (I)讨论函数f(x)的单调性; (Ⅱ)设a≤2,证明:对任。，解:(Ⅰ)f(x)的定义域为 当a≥0时, ,故f(x)在 单调增加 当a≤1时, ,故f(x)在 单调减少 当1<a<0时,令 ,解得 则当 时, 时, 故f(x)在 单调增加,在 单调减少; (Ⅱ)不妨假设x 1 >x 2 由于a≤2,故f(x)在(0,+∞)单调减少 所以|f(x 1 )f(x 2 )|≥4|x 1 x 2 |等价于 f(x 2 )f(x 1 )≥4x 1 4x 2 即f(x 2 )+4x 2 ≥f(x 1。 |