已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+4)f(x)=2f(2),若y=f(x。，在已知条件中令x=2可求f(2)=0,从而求得函数的周期,利用所求周期以及偶函数的性质即可求解. 【解析】 :∵函数f(x1)的图象关于直线x=1对称且把y=f(x1)向左平移1个单位可得y=f(x)的图象, ∴函数y=f(x)的图象关于x=0对称,即函数y=f(x)为偶函数. ∵f(x+4)f(x)=2f(2), 令x=2可得f(2)f(2)=2f(2),则。 设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于x=1对称,对任意x1,x2∈[0,],都有。，(1)解:由,知, , ∵, 又, ∴, , 又, ∴。 (2)证明:依题意,设y=f(x)关于直线x=1对称,f(x)=f(2x),x∈R, 又∵f(x)为偶函数, ∴f(x)=f(x),x∈R,f(x)= f(2x), 以x代x有f(x)=f(2+x),x∈R, 这说明f(x)是R上的周期函数,且2是它的周期。 若函数f(x)在(4,+∞)上为减函数,且对任意的x∈R,有f(4+x)=f(4x),则()A.f。，∵f(4+x)=f(4x), ∴f(x)的图象关于直线x=4对称, ∴f(2)=f(6),f(3)=f(5), 又∵f(x)在(4,+∞)上为减函数, ∴f(5)>f(6), ∴f(5)=f(3)>f(2)=f(6). 故选D. 。x|y=1所确定的x,y的函数关系记为y=f(x).给出如下结论:①f(x)是R上的单。，解:由方程2x|x|y=1所确定的x,y的函数关系记为y=f(x), 则f(x)=2x|x|1=2x2?1,x≥0?2x2?1,x<0, 分别画出当x≥0和x<0的函数图象,它们分别是抛物线。 ②图象关于点Q(0,1)对称,故对于任意x∈R,f(x)+f(x)=2恒成立;正确; ③当点B是过点A(1,f(1)),B(x0,f(x0))的直线与曲线相切时的切点时,过点A(1,f(1。 对于任意函数y=f(x),在同一坐标系中,函数y=f(x1)和函数y=f(1x)的图象恒。，函数y=f(x)和函数y=f(x)的图象关于y轴对称 又y=f(x1)的图象可由y=f(x)的图象右移一个单位得到,y=f(1x)的图象可由函数y=f(x)的图象右移一个单位得到 ∴函数y=f(x1)和函数y=f(1x)的图象关于直线x=1对称 故选C 设f(x)是定义在R上的奇函数,g(x)与f(x)的图象关于直线x=1对称,若g(x)=a(。，试题答案:解:(1)∵f(x)与g(x)的图象关于x=1对称, 设点M(x,f(x))是f(x)上的任意一点. 则点M关于x=1的对称点(2﹣x,g(2﹣x))在函数g(x)的图象上. ∴。 =﹣3+3x2=﹣3(x+1)(x﹣1), 当x∈[﹣1,1],f′(x)≤0, ∴f(x)在[﹣1,1]上是减函数. fmin(x)=f(1)=﹣2,fmax(x)=f(﹣1)=2, 故对任意x1,x2∈(﹣1,1),有|f(x1。 |