证明函数f(x)=x1+x在(1,+∞)上是增函数.，证明:设x1,x2∈(1,+∞),且x1 设a>0,函数f(x)=lnxax,g(x)=lnx2(x1)x+1(1)证明:当x>1时,g。，(1)证明:g′(x)=1x4(x+1)2=(x1)2x(x+1)2,由于已知x>1,∴g"(x)>0恒成立∴g(x)在(1,+∞)递增,∴g(x)>g(1)=0 ∴x>1时,g(x)>0恒成立. (2)f(x)=lnxax的定义域是(0,+∞),f′(x)=1xa=1axx, 由于a>0,x>0,令f′(x)>0,解得0 对于函数 f(x) 中任意的 x1、x2(x1≠x2)有如下结论:①f(x1•x。，解答:解:①∵f(x)=2x, ∴f(x1•x2)=2x1•x2≠2x1+2x2=f(x1)+f(x2),故①错误; ②f(x1+x2)=2x1+x2=2x1•2x2=f(x1)•f(x2),故②正确; ③f(x1)=2x1=12x1=1f(x1),故③正确; ④∵k=y′=2xln2>0(k为曲线f(x)=2x上任意两点的连续的斜率), ∴f(x1)1x1=f(x1)f(0)x10>0,故④错误; ⑤由k=y′=2xln2>0得,k=f。 已知函数f(x)=x1+|x| (Ⅰ)判断并证明函数f(x)的奇偶性; (Ⅱ)若。，(本小题满分12分) (Ⅰ)证明:函数f(x)的定义域是(∞,+∞),(2分) ∵f(x)=x1+|x|=x1+|x|=f(x)(4分) ∴函数f(x)是奇函数(5分) (Ⅱ)先探究函数f(x)的单调性; (i)当0≤x10,x1x2 已知函数f(x)=x(1+lnx)x1,(x>1)(1)设x0为函数f(x)的。，解答:解:(1)∵f(x)=x(1+lnx)x1,(x>1),∴f′(x)=x2lnx(x1)2, ∵x0为函数f(x)的极值点,∴f'(x0)=0, 即x02lnx0=0,于是x01=1+lnx0, 故f(x0)=x0(1+lnx0)x01=。 (x)=x2lnx,∴g′(x)=11x>0, ∴g(x)在(1,+∞)上递增,又g(3)=1ln3<0,g(4)=2ln4>0, ∴g(x)在(1,+∞)上存在唯一的实根x0,且满足x0∈(3,4), ∴当1 已知函数f(x)=x1,x≥11x,0≤x<1(1)当0 函数 f(x)= x1 x 2 +4x5 (x>1) a(x≤1) 在x=1处连续，∵函数 f(x)= x1 x 2 +4x5 (x>1) a(x≤1) 在x=1处连续, ∴ lim x→1 x1 x 2 +4x5 = lim x→1 1 x+5 = 1 6 =a , ∴ lim n→∞ 2n an+1 = lim n→∞ 2n 1 6 n+1 =12. 故答案为:12. 函数f(x)=X1/X,对任意X属于[1,正无穷),f(mx)+mf(x)<0恒成立,求实数m的。，f(mx)+mf(x)=mx1/(mx)+m(x1/x) =2mx(m+1)/(mx) =(2m²x²m1)/(mx)<0 因x≥1>0 m≠0 1. m<0时 mx<0 只需2m²x²m1>0 x²>(m+1)/2m²恒成立 只需1²>(m+1)/2m² (2m²m1)/2m²&。 |