已知函数f(x)=ax1xlnx,a∈R,x∈[12,2].(1)当a=2...

已知函数f(x)=xlnx,(Ⅰ)求f(x)的最小值;(Ⅱ)若对所有x≥1都有f(x)≥ax1,求。，f(x)取值图" class="ikqb_img_alink"> ; (Ⅱ)依题意图" class="ikqb_img_alink"> [1+∞)恒立 即等式图" class="ikqb_img_alink"> 于x∈[1+∞)恒立 令图" class="ikqb_img_alink"> 则图" class="ikqb_img_alink"> x>1图" class="ikqb_img_alink"> 故g(x)(1+∞)增函数 所g(x)值g(1。

已知函数 f(x)= 1 2 a x 2 (a+1)x+lnx .(I)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处，(1)当a=2时, f(x)= 1 2 a x 2 (a+1)x+lnx , f′(x)=2x 2 3+ 1 x ,故f′(2)= 3 2 . 所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率为 3 2 . (2)f′(x)=ax 2 (a+1)+ 1 x . 令f′(x)=0,解得x=1,或x= 1 a . 因为a>0,x>0. ①当00,函数f(x)单调递增; 若x∈(1, 1 a )时,f′(x)0,<函数f(x)单调递减。

已知函数f(x)=ax+2lnx1,a∈R.(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的。，解答:解:∵f′(x)=2xax2, (Ⅰ)a=1时,f′(x)=2x1x2, 令f′(x)>0,解得:x>12, 令f′x)<0,解得:00,f(x)在(0,+∞)递增, ∴f(x)在(0,e)无最小值, ②0

设函数f(x)=1a2x2+axlnx(a∈R).(1)当a=1时,求函数f。，解:(1)函数的定义域为(0,+∞), 当a=1时,f(x)=xlnx, f′(x)=11x. 令f'(x)=0,得x=1. 当01时,f'(x)>0, ∴f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, ∴f(x)极小值=f(1)=1,无极大值. (2)f′(x)=(1a)x+a1x=(1a)x2+ax1 x=(1a)(x1a1 )(x1)x(x>0), ①当1a1=1,即a=2时,f′(。

已知函数f(x)=a(x 2 1)xlnx.(I)当 a= 1 2 时,求函数f(x) 的单调区间;(Ⅱ)当x≥。，(Ⅰ)当 a= 1 2 时, f(x)= 1 2 ( x 2 1)xlnx ,所以f′(x)=xlnx1. 函数f(x)的定义域为(0,+∞). 设g(x)=xlnx1,则g′(x)=1 1 x . 令g′(x)=0,得x=1. 当x∈(0,1)时,g′(x)<0,函数g(x)是减函数; 当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,函数g(x)是增函数. 函数g(x)的最小值为g(1)=0. 所以g(x)=f′(x)≥0(仅当x=1时取等号),f(x)在(0。

已知函数f(x)=(a12)x2+lnx.(a∈R) (1)当a=1时,求f(。，解(Ⅰ)当a=1时,f(x)=12x2+lnx,f′(x)=x+1x=x2+1x. 对于x∈[1,e],有f'(x)>0,∴f(x)在区间[1,e]上为增函数. ∴fmax(x)=f(e)=1+e22,fmin(x)=f( 1 )=12 (Ⅱ)令g(x)=f(x)2ax=(a12)x22ax+lnx,则g(x)的定义域为(0,+∞). 在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方等价于g(x)12,令g'(x)=0。

已知函数f(x)=a2x2lnx,a∈R(1)若a=1,求f(x)的单调递增区。，解:(1)∵a=1, ∴f(x)=x22lnx, ∴x∈(0,+∞),f′(x)=x1x, 令f′(x)=0,则x=1, 当01时,f′(x)>0,f(x)单调递增, ∴f(x)的单调递增区间是(1,+∞). (2)g(x)=a2x2lnx12的值恒为正值,可得a>2lnx+1x2 令h(x)=2lnx+1x2,则h′(x)=2lnxx4, ∴x∈(0,1],h′(x)>0,x∈[1,e],h′(x)<0 ∴。