f(x)=x³+ax+x+1,a∈R (1)设函数f(x)在区间(3分之2,3分之1)内是减函数,，f(x)=x^3+ax^2+x+1f'(x)=3x^2+2ax+1<0区间(2/3,1/3)内恒立 f'(2/3)=4/34a/3+1<=0且f'(1/3)=1/32a/3+1<=0 a>=7/4且a>=2取a>=2 已知a≠0,函数,g(x)=﹣ax+1,x∈R.(I)求函数f(x)的单调递减区间;(Ⅱ)若在。，解:(Ⅰ)由求导得,f"(x)=a2x2﹣2ax. ①当a>0时,由,解得 所以在上递减. ②当a<0时,由可得 所以在上递减. 综上:当a>0时,f(x)单调递减区间为; 当a<0时,f(x)单调递减区间为 (Ⅱ)设. 对F(x)求导,得F"(x)=a2x2﹣2ax+a=a2x2+a(1﹣2x), 因为,a>0,所以F"(x)=a2x2+a(1﹣2x)>0, F(x)在区间上为增函数,则。 已知函数f(x)=lnxax+1ax1(a∈R). (1)当a=1时,求。，(1)函数的定义域为(0,+∞),当a=1时,f(x)=lnx+x+2x1,f′(x)=(x1)(x+2)x2, 由f'(x)>0,解得x>1,此时函数f(x)单调递增. 由f'(x)0,此时f(x)单调递增. ②若0 已知函数f(x)=e ax x,其中a≠0. (1)若对一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的。，(1)若a<0,则对一切x>0,函数f(x)=e ax x<1,这与题设矛盾, ∵a≠0,∴a>0 ∵f′(x)=ae ax 1,令f′(x)=0,可得 x= 1 a ln 1 a 令f′(x)<0,可得 x< 1 a ln 1 a ,函数单调减;令f′(x)>0,可得 x> 1 a ln 1 a ,函数单调增, ∴ x= 1 a ln 1 a 时,f(x)取最小值 f( 1 a ln 1 a )= 1 a 1 a ln 1 a ∴对一切x∈R,f(x)≥1恒成立,。 已知函数f(x)=axlnx(a为常数),(1)当a=1时,求函数f(x)的最小值;(2)求函数f(。，试题答案:解:(1)当a=1时,函数f(x)=xlnx,x∈(0,+∞), ∵, 令得x=1, ∵当, ∴函数f(x)在(0,1)上为减函数; ∵当, ∴函数f(x)在(1,+∞)上为增函数, ∴当x=1时,函数f(x)有最小值,; (2)∵, 若a≤0,则对任意的, ∴函数f(x)在上为减函数, ∴函数f(x)在上有最大值,没有最小值,; 若a>0,令, 当0 已知函数f(x)=lnx+ax+1,a∈R.(Ⅰ)求f(x)在x=1处的切线方程;(Ⅱ)若不等式f。，解:由f(x)=lnx+ax+1,得f′(x)=1x+a. ∴f′(1)=1+a. 又f(1)=a+1, ∴f(x)在x=1处的切线方程为ya1=(1+a)(x1), 即y=(1+a)x; (Ⅱ)解:函数f(x)=lnx+ax+1的定义域为{x|x>0}, 由不等式f(x)≤0恒成立,得 lnx+ax+1<0恒成立,即a0)恒成立. 令g(x)=?lnx?1x, 则g′(x)=?1+lnx+1x2=lnxx2, 当0 已知函数f(x)=x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a,b∈R。(1)设两曲线y=f(x)与y=。，解:(1)设y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点(x0,y0)处的切线相同, f′(x)=x+2a,g′(x)=, 由题意知f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0) 即, 解得x0=a或x0=3a(舍去),b=(a>0), b"(a)=5a6alna3a=2a(13lna), ; (2) 要使h(x)在(0,4)上单调,须h′(x)=x+6≤0或h′(x)=x+6≥0在(0,4)上恒成立, h′(x)=x+6≤0在(0,4)上恒成。 |