已知函数f(x)=ln x+2x,g(x)=a(x 2 +x).(1)若a= ,求F(x)=f(x)g(x)的单调区间;(。，则F(x)=ln x+2x x 2 x, 其定义域是(0,+∞), 则F′(x)= +2x = . 令F′(x)=0,得x=2,x= (舍去). 当0<x<2时,F′(x)>0,函数单调递增; 当x>2时,F′(x)<0,函数单调递减. 即函数F(x)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(2,+∞). (2)设F(x)=f(x)g(x) =ln x+2xax 2 ax, 则F′(x)= , 当a≤0时。 已知函数 ,g(x)=lnx.(Ⅰ)如果函数y=f(x)在[1,+∞)上是单调增函数,求a的。， 解:(Ⅰ)当a=0时,f(x)=2x在[1,+∞)上是单调增函数,符合题意. 当a>0时,y=f(x)的对称轴方程为 , 由于y=f(x)在[1,+∞)上是单调增函数, 所以 ,解。 即为方程ax 2 +(1﹣2a)x﹣lnx=0. 设H(x)=ax 2 +(1﹣2a)x﹣lnx(x>0), 原方程在区间( )内有且只有两个不相等的实数根, 即为函数H(x)在区间( )内有。 已知函数f(x)=lnx+ax(a>0).(1)求f(x)的单调区间;(2)如果P(x0,y0)是曲线y=f(。，(Ⅰ)函数f(x)=lnx+ax(a>0)的定义域为(0,+∞), 则f′(x)=1x?ax2=x?ax2. 因为a>0,由f′(x)>0得x∈(a,+∞),由f′(x)<0得x∈(0,a), 所以f(x)的单调递增区。 由f(x)=x3+2(bx+a)2x?12,即lnx+ax=x3+2(bx+a)2x?12. 化简得b=lnx?12x2+12(x∈(0,+∞)). 令h(x)=lnx?12x2?b+12,则h′(x)=1x?x=(1+x)(1?x)x. 当x。 已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R).(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)在(Ⅰ)。，得x=1, 当x∈(0,1)时,f′(x)0, ∴函数f(x)的单调减区间是(0,1),单调增区间是(1,+∞). (Ⅱ)设g(x)=f(x)+2x=1x+lnx+2x, g′(x)=1x?1x2+2=2x2+x?1x2, 由。 求f(x)的单调区间 26 20111205 已知a>0,函数f(x)=lnxax^2(x>0),求f(。 13 20130827 求函数f(x)=ax+lnx的单调区间 11 20130424 已知函数f(。 已知函数f(x)=lnx+2x,g(x)=a(x^2+x)，f(x)<=g(x) 即(lnx+2x)/(x^2+x)<=a 令h(x)=(lnx+2x)/(x^2+x) h'(x)=(lnxx+1)(2x+1)/(x^2+x)^2 令h'(x)=0 x=1 易知h(x)最小值为1 所以a>=1 函数f(x)=ax^2+2x+1,g(x)=lnx.，0时 h(0)=1<0 Δ=4+8a>0 解得:1/2<a<0 综上知:1/2<a<0 证明:(2). a≥0时ax²≥0恒成立 ∴要证f(x)≥g(x)恒成立只需证: 2x+1≥lnx恒成立 令H(x)=2xlnx+1则 H'(x)=21/x令H'(x)=0得:x=2 所以当x=2时H(x)取最小值5ln2>0 ∴a≥0时f(x)≥g(x。 已知函数f(x)=12ax2+2x,g(x)=lnx.(1)如果函数y=f(x)。，2x在[1,+∞)上是单调增函数,不符合题意;②当a>0时,y=f(x)的对称轴方程为x=2a,y=f(x)在[1,+∞)上是单调增函数,不符合题意;③当a<0时,函数y=f(x。 xlnx=0,设H(x)=ax2+(12a)xlnx(x>0),则原问题等价于函数H(x)在区间(1e,e)内有且只有两个零点.H′(x)=2ax+(12a)1x=2ax2+(12a)x1x=(2ax+1)(x1)。 已知f(x)=xlnx,g(x)=x 3 +ax 2 x+2.(Ⅰ)如果函数g(x)的单调递减区间为 ( 1 。，=x 3 x 2 x+2.(4分) (II)由(Ⅰ)知:g′(x)=3x 2 2x1,∴g′(1)=4, ∴点p(1,1)处的切线斜率k=g′(1)=4, ∴函数y=g(x)的图象在点p(1,1)处的切线方程为: y1=4(x+1),即4xy+5=0.(8分) (III)∵2f(x)≤g′(x)+2 即:2xlnx≤3x 2 +2ax+1对x∈(0,+∞)上恒成立 可得 a≥lnx 3 2 x 1 2x 对x∈(0,+∞)上恒成立 设 h(x)。 |