设椭圆方程为,过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A、B,O是坐标原点,点P。，试题答案:解:(1)直线l过点M(0,1), 设其斜率为k,则l的方程为y=kx+1, 记、 由题设可得点A、B的坐标、是方程组的解, 将①代入②并化简得,, 所以, 于是, 设点P的坐标为(x,y),则, 消去参数k得, ③ 当k不存在时,A、B中点为坐标原点(0,0),也满足方程③, 所以点P的轨迹方程为。 (2)由点P的轨迹方。 已知椭圆的右顶点为A,右焦点为F,直线与x轴交于点B且与直线交于点C,。，试题答案:(1)解:因为,, 所以且, 所以a=2,c=1 所以, 所以椭圆方程为: (2)证明:设直线l:y=k(x﹣1),M(x1,y1),N(x2,y2) 则由,消去y 得(3+4k2)x﹣8k2x+4k2﹣12=0, 所以 由于P(8﹣x1,y1),, 因为(4﹣x1)y2﹣(x2﹣4)y1 =4(y1+y2)﹣x1y2﹣y1x2 =4k(x1+x2﹣2)﹣2kx1x2+k(x1+x2) = 当l⊥x轴时,也满足故共。 。(0,),直线l与椭圆C交于 A 、B 两点,且A、B两点与另一焦点围成的三角。，试题答案:(1) (2) 若直线l与椭圆C:x23+y2=1交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为32。，设A(x1,y1),B(x2,y2). ①当AB⊥x轴时,∵坐标原点O到直线l的距离为32, ∴可取A(32,y1),代入椭圆得(32)23+y21=1,解得y1=±32. ∴|AB|=3. ②当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m, 由坐标原点O到直线l的距离为32可得|m|1+k2=32,化为m2=34(k2+1). 把y=kx+m代入椭圆方程,消去y。 已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为。(1)求。，试题答案:解:(1)设椭圆的半焦距为c,依题意 ∴ ∴所求椭圆方程为。 (2)设, (i)当轴时,; (ii)当AB与x轴不垂直时 设直线AB的方程为 由已知得 把代入椭圆方程,整理得 ∴, ∴ 当且仅当,即时等号成立 当k=0时, 综上所述, ∴当最大时,△AOB面积取最大值。 如图,椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点是F(1,0),O为坐标原点.(Ⅰ)。，试题答案: (Ⅰ)设M,N为短轴的两个三等分点, 因为△MNF为正三角形,所以|OF|=32|MN|, 即1=32•2b3,解得b=3.a2=b2+1=4,因此,椭圆方程为x24+y23=1. (Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2). (ⅰ)当直线AB与x轴重合时, |OA|2+|OB|2=2a2,|AB|2=4a2(a2>1), 因此,恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2. (ⅱ)当直线AB不与。 已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,其左、右焦点分别为F1,F2,点P是坐标。，试题答案:解:(1)设 则由得 由得 即 所以 又因为 所以 因此所求椭圆的方程为:; (2)动直线l的方程为: 由得 设 则 假设在y上存在定点M(0,m),满足题设,则 由假设得对于任意的,恒成立 即 解得m=1。 因此,在y轴上存在定点M,使得以AB为直径的圆恒过这个点,点M的坐标为(0,1)。 已知直线,圆O:=36(O为坐标原点),椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为e=,直线l。，直线l被圆O截得的弦长2a=,∴a=2, 又,解得, ∴椭圆C的方程为:; ………4分 (Ⅱ)∵,∴四边形OASB是平行四边形. 假设存在这样的直线l,使。 则. ………7分 直线l的斜率显然存在,设过点(3,0)的直线l方程为:, 由,得, 由,即. ………9分 , 由得:,满足Δ>0. ………12分 故存在这样的直线。 |