已知定义域为R的函数f(x)满足。(1)若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);(2)。，解:(1)因为对任意的, 所以。 又由,得,即。 若,则,即。 (2)因为对任意的, 又因为有且仅有一个实数,使得, 所以对任意的,有, 在上式中令,有, 又因为,所以,故。 ①若,则,即, 但方程有两个不同的实数根,与题设条件不符,故。 ②若,则,即,易验证该函数满足题设条件。 已知函数f(x)的定义域[1,5],部分对应值如表 x 1 0 4 5 f(x) 1 2 2 1 f(x)的，∵f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示: ∴ 观察图象知:在区间[1,0)和(2,4)内,f′(x)>0,f(x)的单调递增区间是[1,0]和[2,4]; 在(0,2)和(4,5)有f′(x)>0,f(x)为减函数; 故②正确; 两个极大值点: 结合函数的图象知:函数f(x)的定义域[1,5]内, 在x=0处取极大值f(0)=2, 在x=2处取极小值f(2), 在x=4处取极大。 已知函数f(x)的定义域是R,若f(x)是奇函数,0≤x<1时,f(x)=12x,且满足f(x+2。，f(x)=12x, ∴f(x)=12×(x)=12x=f(x),故有f(x)=12x. 当x=1时,由奇函数的定义可得f(1)+f(1)=0,再由函数的周期等于2,可得f(1)=f(1)=0, 故有1≤x≤0时,f(x)=12x , ?1 已知函数f(x)=(12x1+12)?x.(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶。，(1)由2x1≠0得x≠0,∴函数f(x)的定义域为(∞,0)∪(0,+∞) (2)∵f(x)=(12x1+12)?x=2x+12(2x1)?x ∴f(x)=2x+12(2x1)?(x)=x?12x+12(12x1)=x?1+2x2(12x)=2x+12(2x1)?x=f(x) ∴函数f(x)为定义域上的偶函数. (3)证明:当x>0时,2x>1 ∴2x1>0, ∴12x1>0, ∴(12x1+12)?x>0 ∵f(x)为定义域上的偶函数。 |