已知函数f(x)=12ax2+2x(a≠0),g(x)=lnx.(Ⅰ)若h(x)。，解:(Ⅰ)由已知,得h(x)=12ax2+2xlnx,且x>0, 则h'(x)=ax+21x=ax2+2x1x,…(2分) ∵函数h(x)存在单调递增区间,∴h'(x)>0在(0,+∞)上有解, 即不等式a。 内有且只有两个不相等的零点,只须h(1e)=a2e2+12ae+1=(12e)a+e2+ee2>0h(x)min=h(1)=a+(12a)=1a<0h(e)=ae2+(12e)a1=(e22e)a+(e1)>0…(。 已知函数f(x)=12(x1)2+lnxax+a(1)当a=2时,求证:对任意的x1,x2∈(0。，=x+1xa1>2a1≥0 ∴f(x)在(1,3)上递增, 所以f(x)>f(1)=0满足条件.(8分) 当a>1时, 令f′(x)<0?0 已知函数 f(x)=|xa| a 2 lnx ,a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)有。，xa| a 2 lnx=xa a 2 lnx , f′(x)=1 a 2x >0 , 函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),…3分 当a>0时, f(x)=|xa| a 2 lnx= xa a 2 lnx ,x≥a ax a 2 ln。 解得a>1,…10分 由 f(1)=a1 a 2 ln1=a1>0 ,f(a)<0, 得x 1 ∈(1,a),…12分 而f(a 2 )=a 2 aalna=a(a1lna), 下面证明:a>1时,a1lna>0 设g(x)=x1lnx,x>1 则。 已知函数f(x)=12(x?1)2+lnx?ax+a.(Ⅰ)若a=32,求函数f(x)的极值;(Ⅱ)若对。，(I)f′(x)=x+1x?52=2x2?5x+22x,f'(x)=0,得x1=12,或x2=2, 列表: 函数f(x)在x=12处取得极大值f(12)=78?ln2, 函数f(x)在x=2处取得极小值f(2)=ln21;(4分) (II):f′(x)=x+1x?(1+a),x∈(1,3)时,x+1x∈(2,103),(5分) (i)当1+a≤2,即a≤1时,x∈(1,3)时, f'(x)>0,函数f(x)在(1,3)是增函数?x∈(1,3),f(x)>f(1)=0恒成。 已知函数 f(x)= 1 2 a x 2 +2x ,g(x)=lnx.(Ⅰ)如果函数y=f(x)在[1,+∞)上是。，上是单调增函数,符合题意. 当a>0时,y=f(x)的对称轴方程为 x= 2 a , 由于y=f(x)在[1,+∞)上是单调增函数, 所以 2 a ≤1 ,解得a≤2或a>0,所以a>0. 当a<0时,不符合题意. 综上,a的取值范围是a≥0. (Ⅱ)把方程 g(x) x =f′(x)(2a+1) 整理为 lnx x =ax+2(2a+1) , 即为方程ax 2 +(12a)xlnx=0. 设H(x)=ax 。 已知函数f(x)=(ax2x)lnx12ax2+x(a∈R).(1)当a=0。，解:(1)∵a=0, ∴f(x)=xlnx+x,f′(x)=lnx, 则直线的斜率k=f′(e)=lne=1, f(e)=elne+e=e+e=0, 故所求切线方程为x+ye=0. (2)函数的导数f′(x)=(2ax1)lnxax1+ax+1=(2ax1)lnx, ∵x=e为函数f(x)的极值点, ∴f′(e)=2ae1=0,解得a=12e(经检验符合题意) 则f′(x)=(xe1)lnx=xeelnx, 由f′(x)=0得x=1或x=e, 。 已知函数f(x)=axlnx,g(x)=12x2+(a+1)x,其中a∈R.(1)令h(x)=f(x)xg。，(1)∵h(x)=alnx+12x2(a+1)x,(x>0). ∴h′(x)=ax+x(a+1)=x2(a+1)x+ax=(x1)(xa)x. ①当a≤0时,f(x)的递减区间为(0,1),递增区间为(1,+∞); ②当0 已知函数f(x)=ax1xlnx,a∈R,x∈[12,2].(1)当a=2。，[12,2],f′(x)=a+1x21x…(2分) (1)当a=2时,在x∈[12,2],f′(x)=(2x1)(x+1)x2≤0,…(4分) 所以f(x)在区间[12,2]上单调递减,…(6分) 故f(x)max=f(12)=ln23. …(7分) (2)存在a∈(∞,16)符合条件. 解法一:据题意在y=g(x)=[f(x)+lnx]•x2=ax3x图象上。 |