已知函数f(x)=x3+3ax2+(3﹣6a)x+12a﹣4(a∈R)(Ⅰ)证明:曲线y=f(x)在x=。，试题答案:解:(Ⅰ)f'(x)=3x2+6ax+3﹣6a 由f(0)=12a﹣4,f'(0)=3﹣6a, 可得曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y=(3﹣6a)x+12a﹣4, 当x=2时,y=2(3﹣6a)+12a﹣4=2,可得点(2,2)在切线上 ∴曲线y=f(x)在x=0的切线过点(2,2) (Ⅱ)由f'(x)=0得 x2+2ax+1﹣2a=0…(1) 方程(1)的根的判别式 ①当时,函数f(x)没。 已知函数f(x)=13x3?12(a+1)x2+ax(a∈R),函数g(x)=f′(x)(1)判断方程g(x)。，24a=(a1)2 ∴当a=1时,方程g(x)=0有一个零点; 当a≠1时,方程g(x)=0有两个零点;(3分) (2)将不等式g(x)>0化为(xa)(x1)>05 当a>1时,原不等式的解集为{x|x>a或x<1}(6分) 当a<1时,原不等式的解集为{x|x>1或x 若直线x=1是函数y=f(2x)的图象的一条对称轴,则f(32x)图象的对称轴。，x= 解:由于直线x=1是函数y=f(2x)图象的一条对称轴, 所以y在1x与1+x处的函数值相等, 即f(2(1x))=f(2(1+x)), 即f(22x)=f(2+2x), 所以f[32(12+x)]=f[32(12x)], 所以函数y=f(32x)的图象关于x=12对称, 故答案为:x=12. 函数f(x)的图象无论经过平移还是关于某条直线对称翻折后仍不能与y=。，A、易知:y=log12x与y=2x互为反函数, 则图象关于y=x对称,两者图象翻折得到. B、∵y=log 12x=log2x,而y=2log4x=log2x ∴关于x轴对称,两者图象翻折得到 C、y=log2(x+1)与y=log2x图象向左平移一个单位得到. D、两个函数的底不同不会由变换得到. 故选D. (本小题满分12分)设函数 f ( x )= x 3 + ax 2 + bx ( x >0)的图象与直线 y =4。，(Ⅰ) f ′( x )=3 x 2 +2 ax + b .依题意则有: 所以解得所以 f ( x )= x 3 6 x 2 +9 x ; f ′( x )=3 x 2 12 x +9=3( x 1)( x 3),由 f ′( x )=0可得 x =1或 x =3. f ′( x ), f ( x )在区间(0,4]上的变化情况为: x 0 (0,1) 1 (1,3) 3 (3,4) 4 f ′( x ) + 0 0 + f ( x ) 0 增函数 4 减函数 0 增函数 4 已知g(x)=12x,f[g(x)]= 1x 2 x 2 (x≠0),则f( 1 2 )等于(，令g(x)= 1 2 ,得12x= 1 2 ,解得x= 1 4 . ∴f( 1 2 )=f[g( 1 4 )]= 1( 1 4 ) 2 ( 1 4 ) 2 = 15 16 1 16 =15. 故选A. 已知函数f(x)与函数g(x)=log12x的图象关于直线y=x对称,则函数f(。，(∞,1] 解:∵函数f(x)与函数g(x)=log12x的图象关于直线y=x对称, ∴f(x)=(12)x ∴函数f(x)在R上单调递减 ∵t=x2+2x=(x+1)21, ∴t=x2+2x在(∞,1]上单调递减 ∴函数f(x2+2x)的单调递增区间是(∞,1] 故答案为:(∞,1]. 已知函数f(x)=ax 2 +1,g(x)=x 3 +bx,其中a>0,b>0.(1)若曲线y=f(x)与曲线y=。，(1)a= ,b=5 (2)①M(a)= ② 解:(1)由P(2,c)为公共切点, f(x)=ax 2 +1,g(x)=x 3 +bx(a>0), 得f′(x)=2ax,k 1 =4a, g′(x)=3x 2 +b,k 2 =12+b. 又f(2)=4a+1,g(2)=8+2b, 所以 ,解得a= ,b=5. (2)①h(x)=f(x)+g(x) =x 3 +ax 2 +bx+1, 则h′(x)=3x 2 +2ax+b. 因为函数f(x)+g(x)的单调减区间为 , 所以x∈ 时,有。 |