P是等边三角形ABC的边BC上的一点,连接AP,作AP的中垂线分别交AB,。，∵MN垂直平分AP∴AM=MP,AN=NP(垂直平分线上的点到线段两端点距离相等)∴∠MAP=∠MPA,∠NAP=∠NPA∴∠MPN=∠MPA+∠NPA=∠MAP+∠NAP=∠MAN=60°∴∠BPM+∠CPN=180°∠MPN=120°∵∠CNP+∠CPN=180°∠C=120°∴∠BPM=∠CNP 1.P是等边三角形ABC的边BC上一点连接AP,AP的中垂线交AB,AC于M,。，1. 连接MP、NP,因为MN是AP的中垂线,有AM=PM,AN=PN.所以角MAP=角MPA,角NAP=角NPA从而,角MAN=角MPN=角B=角C.在三角形BMP。 所以 角BMP=角NPC又 角B=角C所以 三角形BMP相似于三角形CPN所以BP:CN=BM:CP即 BP乘PC=BM乘CN2. 在△ABC所在的平面内存在一点P,它到A、B、C三点的距离都相等,。，解:如图所示,PA=PB=PC,作PM⊥AC于点M, 则∠PMA=∠PMC=90°,在两直角三角形中, ∵PM=PM,PA=PC,∴△APM≌△CPM, ∴AM=MC; 同理可证得:AK=BK,BN=CN, ∴点P是△ABC三边中垂线的交点.故选A. 已知△ABC中,P为三条角平分线的交点,如图，这个图有点不规范 PD交AB于D,PE交AC于E,PF交BC于F因为角平分线上的交点到三边距离相等所以PD=PE=PF又∵PD⊥AB,PE⊥AC,PF⊥BC∴SΔAPB=(PD*AB)/2=(0.8*3)/2=1.2 SΔAPC=(0.8*2.8)/2=1.12 SΔBPC=(0.8*3.2)/2=1.28∴SΔABC=SΔAPB+SΔA。 如图,在△ABC总中,边AB,BC的垂直平分线交于点P,连接PB,PC，证明:(1)∵边AB、BC的垂直平分线交于点P, ∴PA=PB,PB=PC. ∴PA=PB=PC. (2)∵PA=PC, ∴点P在边AC的垂直平分线上(和一条线段的两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上) 还可得出结论:三角形三边的垂直平分线相交于一点. 点P为△ABC三边垂直平分线交点,已知PA=3,AB=5,则PB=，线段垂线点线段两端距离相等由于pAB垂线点∴PB=PA=3 如图,三角形ABC中,边AB,BC的垂直平分线交于点P 求证:PA=PB=PC 。，点P在AB垂直平分线上,∴PA=PB 点P在BC垂直平分线上,∴PB=PC ∴PA=PB=PC ∵PA=PC∴点P也在边AC的垂直平分线 已知P为三角形ABC内一点,角PAC=角PBC,由P作BC,AC的垂线,垂足。，分别取PA,PB中点E,F,连接ME,ED,FL,FD.直角三角形APM中,ME=AP/2=AE. 角MEP=角EAM+角AME=2*角EAM三角形ABP中,FD=AP/2 (中位线是底边的一半)所以,ME=FD同理,ED=LF. 角LFP=2角LBP 则角MEP=角LFP.容易得出,四边形PEDF是平行四边形,则,角PED=角PFD.(对角相等。 已知点O,n,p 在三角形所在的平面内，O到三角形三个顶点距离相等,故是三边中垂线交点,即外心设NA+NB=ND有CND共线,而NADB是平行四边形,故CN过AB中点,同理,AN过BC中点,BN过AC中点,即重心。由PA*PB=PB*PC,PB*(PAPC)=0,即PB*CA=0;即PB和CA垂直,同理PC垂直AB,PA垂直BC,即垂心。 |